sábado, 11 de abril de 2009

RESUMO DO LIVRO O SEGREDO





"O Segredo"






O Segredo Revelado

- O Grande Segredo da Vida é a lei da atração.

- A lei da atração diz que semelhante atrai semelhante; portanto, quando você tem um pensamento, você também está atraindo pensamentos semelhantes para si.

- Os pensamentos são magnéticos e têm uma freqüência. Quando você pensa, os pensamentos são emitidos no Universo e magneticamente atraem todas as coisas semelhantes que estão na mesma freqüência. Tudo o que é emitido volta para a fonte – você.

- Você é como uma torre de transmissão humana, transmitindo uma freqüência com os seus pensamentos. Se quiser mudar qualquer coisa em sua vida, mude a freqüência mudando seus pensamentos.

- Seus pensamentos atuais estão criando sua vida futura. Aquilo que você mais pensa ou se concentra se manifestará como a sua vida.

- Seus pensamentos se transformam em coisas.

O Segredo Simplificado

- A lei da atração é a lei da natureza. Ela é tão imparcial quanto a lei da gravidade.

- Nada se pode introduzir na sua experiência a menos que você peça por meio de pensamentos duradouros.

- A fim de saber o que você está pensando, pergunte a si mesmo como está se sentindo. As emoções são ferramentas valiosas que nos dizem instantaneamente o que estamos pensando.

- É impossível sentir-se mal e ao mesmo tempo ter bons pensamentos.

- Seus pensamentos determinam sua freqüência, e seus sentimentos lhe dizem de imediato em que freqüência você está. Quando se sente mal, você está na freqüência em que atrai mais coisas ruins. Quando se sente bem, você está poderosamente atraindo para si mais coisas boas.

- Modificadores do Segredo, tais como lembranças agradáveis, a natureza ou sua música predileta, podem mudar seus sentimentos e sua freqüência num instante.

- O sentimento de amor é a freqüência mais alta que você pode emitir. Quanto maior o amor que você sente e emite, maior o poder que você utiliza.

Como Usar O Segredo

- Como o gênio de Aladim, a lei da atração atende a todos os nossos pedidos.

- O Processo Criativo ajuda a criar o que você quer em três passos simples: peça, acredite e receba.

- Pedir ao Universo o que você quer é a oportunidade de ter clareza quanto ao que quer. Quando ficar claro em sua mente, você terá pedido.

- Acreditar implica em agir, falar e pensar como se já tivesse recebido o que pediu. Quando você emite a freqüência de ter recebido, a lei da atração move pessoas, acontecimentos e situações para que você os receba.

- Receber implica sentir como será assim que seu desejo se manifestar. Sentir-se bem agora o coloca na freqüência do que você quer.

- Para perder peso, não se concentre em "perder peso". Em vez disso, concentre-se em seu peso ideal. Sinta o seu peso ideal, e você o atrairá para si.

- O Universo não precisa de tempo para produzir o que você quer. É tão fácil produzir um dólar quanto um milhão de dólares.

- Começar com algo pequeno, como uma xícara de café ou uma vaga de estacionamento, é uma forma simples de experimentar a lei da atração em ação. Projete poderosamente atrair algo pequeno. Ao experimentar o poder que tem de atrair, você irá passar a criar coisas muito maiores.

- Crie seu dia com antecedência pensando no modo como você quer que ele seja, e estará criando sua vida intencionalmente.

"Tudo o que somos é resultado do que pensamos"
"E tudo quanto pedirdes em oração, crendo, recebereis."
"Pedi e recebereis" Jesus
"A imaginação é tudo. É uma prévia das próximas atrações da vida" Einstein (1879-1955)
"A boa notícia é que no momento em que você decide que aquilo que sabe é mais importante do que aquilo que foi ensinado a acreditar, você muda de ritmo em sua busca por abundância. O sucesso vem de dentro, não de fora.
"O sucesso é ser feliz.

Exercícios Poderosos

- A expectativa é uma força de atração poderosa. Espere coisas que você quer, e não espere as coisas que não quer.

- A gratidão é um processo poderoso de transformar sua energia e conquistar para sua vida mais do que você quer. Agradeça pelo que já tem, e irá atrair ainda mais coisas boas.

- Agradecer antecipadamente por aquilo que quer turbina seus desejos e envia ao Universo um sinal mais poderoso.

- Visualização é o processo de criar na mente imagens de você mesmo desfrutando o que quer. Quando você visualiza, gera pensamentos e sensações poderosas de já ter. A lei da atração então devolve essa realidade a você, assim como a viu na sua mente.

Esse é meu ponto de vista.

JOGOS DE BOOLE


O que está por trás dos Jogos Boole. No nosso Tutorial você fica conhecendo as idéias que deram origem aos jogos, o que você pode conseguir utilizando-os, bem como instruções para jogar. Recebe informações sobre os jogos binários que ajudam a compreender a origem dos computadores e sobre os quadrados mágicos, um enigma matemático, bem como outras informações.



INSTRUÇÕES PARA A UTILIZAÇÃO DOS JOGOS BOOLE
A matemática Digital
Os Jogos Boole e as histórias lógicas
Os objetivos das histórias lógicas
Os Jogos Boole e a analogia homem-máquina
Os Jogos Boole e o método utilizado
Os Jogos Boole, os processos linguísticos e o sistema binário
A pedagogia cibernética e os Jogos Boole
A importância do material concreto
Os Quadrados Mágicos
Formas de pensamento
Conjuntos proposições e circuitos
A álgebra de Boole
A pedagogia cibernética
Os Jogos Boole e o sistema binário
Os Jogos Boole e os quadrados mágicos
Os Jogos Boole e os isomorfismos
Os Jogos Boole e os sistemas hipotéticos dedutivos
Os Jogos Boole e as histórias lógicas
Os Jogos Boole e a matemática
Os Jogos Boole e o computador
Os Jogos Boole e as máquinas
Uma ferramenta na busca da formalização do pensamento.

INSTRUÇÕES PARA A UTILIZAÇÃO DOS JOGOS BOOLE

O KIT BOOLE é composto por cinco livros e quatro baralhos. O livro preto NÃO vem acompanhado de cartas, pois trabalha com todas as outras na solução de seus enigmas.
Os cinco livros contêm 26 histórias com níveis diferentes de dificuldade que é definido também pela quantidade de cartas a ser utilizadas:
1-Laranja (9 cartas) 2-Vermelho (9 cartas) 3-Azul (12 cartas) 4-Verde (16 cartas) 5-Preto (25 cartas)
À medida que a criança consegue resolver os enigmas do primeiro nível, passa para o seguinte.
Inicia-se a utilização do material pelo JOGO LARANJA. Este é composto por doze cartas (três personagens, três animais, três meios de transportes, três guloseimas). Todas as histórias lógicas são propostas envolvendo somente nove cartas. As três restantes podem ser colocadas onde o jogador quiser para completar a história. Para resolver as histórias o jogador deve dispor as cartas em linhas verticais, que devem conter um personagem, um meio de transporte e um animalzinho. A classificação facilita a resolução do enigma proposto.
O jogo vermelho consiste na solução de quatro histórias com estruturas lógicas e na formação de oito quadrados mágicos diferentes.

PÉTI JUCA
NAVIO AVIÃO METRÔ
CÃO

QUADRADOS MÁGICOS

As oito soluções dos Quadrados Mágicos devem obedecer a seguinte regra:
O jogador deverá dispor as cartas numeradas, de maneira que a soma dos números, no sentido vertical, horizontal e das duas diagonais principais, seja sempre QUINZE. O Segredo na formação do Quadrado Mágico é o número cinco no meio. Quem colocar o cinco no meio tem oito possibilidades de formar um quadrado mágico. Outra dica importante é colocar as cartas de números ímpares na cruz ou sinal de mais e os pares nas pontas. Com estas duas dicas torna-se mais fácil manter o quadrado mágico. Então, BOA SORTE!
Ainda no JOGO VERMELHO é possível mostrar o SISTEMA BINÁRIO (sistema de numeração). Assim como existe o sistema decimal e o romano, existe o sistema binário que é a origem da linguagem do computador. O Sistema binário e um código onde a bolinha tem valor de posição. Você vai encontrar no verso das cartas um conjunto de quatro símbolos (zero-0) e (um-0). Estes conjuntos de bolinhas representam um número binário que corresponde ao número decimal inscrito no outro lado da carta.
Você encontrará mais instruções junto ao baralho vermelho.
No baralho verde também há proposição de quadrado mágico, mas a soma teve ser 34 devido a um maior número de cartas, ou seja, 16. É preciso então formar uma matriz 4x4 onde a soma das linhas, das colunas e das duas diagonais principais deve ser 34. As cartas verdes também contêm o código binário até o número 16.

A matemática Digital

OS JOGOS BOOLE – Estes jogos podem ser vistos como uma técnica de organização das formas de pensar. Apoiados no trabalho de George Boole(1815/1864) a idéia inicial dos jogos fundamenta-se na teoria matemática dos conjuntos. Um dos objetivos dos jogos é utiliza-los na organização e/ou estruturação de sistemas. Eles se constituem numa combinatória e utilizam como “ferramenta” a Álgebra de Boole para conduzir-nos ao pensamento denominado formal indispensável na ciência. Estamos gradativamente oferecendo aos que já se iniciaram neste processo detalhes do trabalho que estamos realizando há vários anos com bons resultados conforme depoimentos de profissionais de todas as esferas do ensino-aprendizagem.
O trabalho proposto tem características interdisciplinares e pretende-se que os seguidores desta técnica assimilem as noções elementares da Teoria dos Conjuntos, Álgebra das proposições e o tratamento adequado da informação.Com o uso cada vez mais generalizado do Computador esta técnica que utilizamos se torna essencial na construção dos programas para esta máquina. O conhecimento dos processos lógicos preconizados conduz a uma ocupação mínima da memória da máquina encurtando o tempo de processamento dos programas e produzindo uma grande economia em todas as fases do processo. Daí, a nossa confiança de que a medida que estes procedimentos forem plenamente compreendidos, despertarão grande interesse em todos os profissionais e empresários que transitam nesta área. Quando estes procedimentos são utilizados desde a infância maiores certamente serão as vantagens obtidas.
É possível desenvolver-se a capacidade de raciocínio desde que estimulada por motivações suficientes e adequadas a faixa de desenvolvimento da pessoa.
O século XIX foi a idade de ouro da matemática, foi neste período que surgiu uma verdadeira legião de grandes nomes da matemática e dentre eles George Boole, criador da álgebra que leva o seu nome e que é hoje ferramenta largamente utilizada na teoria da informação e na computação eletrônica.
Nascido de família modesta em Lincoln, Grã-Bretanha, Boole tinha só instrução escolar comum. Com ele fica evidente pela primeira vez, a idéia de que a característica essencial da matemática não é tanto o seu conteúdo, mas a sua forma.
Se qualquer assunto é apresentado através de símbolos e de regras precisas de operação, sujeitas apenas à exigência de não contradição, tal assunto é matemática.
Os jogos que apresentamos são simples tratam de matemática, lógica elementar, Quadrados Mágicos e uma introdução ao Sistema Binário.
Os Quadrados Mágicos, se constituem em um passatempo matemático que vem atravessando os séculos e foram eternizados pelo pintor Albrecht Dürer(1471-1528), em sua obra “Melancolia”. Nos nossos jogos eles são utilizados para mostrar as formas de pensamento Aleatório, Heurístico e Algorítmico.

Os Quadrados Mágicos

O assunto mais importante tratado nos Jogos Boole são os processos booleanos no trato das sentenças ou proposições abordados através de histórias lógicas.
Porém, nos jogos abordamos também dois outros assuntos também muito importantes: A introdução ao Sistema Binário de numeração e os Quadrados Mágicos utilizados por nós para mostrarmos as formas de pensamento Aleatório, Heurístico e Algorítmico.
Segundo a história da Matemática os Quadrados Mágicos foram descobertos pelos chineses há mais de 3.000 anos antes de Cristo.
Mas, em que consistem os Quadrados Mágicos?
Os chamados Quadrados Mágicos consistem em uma matriz numérica quadrada em que as somas das linhas, das colunas e das duas diagonais principais são as mesmas.
Por exemplo o Quadrado Mágico 3 x 3, é formado pelos nove dígitos: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 dispostos em três linhas e três colunas. Se os dígitos forem colocados aleatoriamente na matriz, o tempo necessário para a formação destas matrizes especiais era calculado em 40 dias de trabalho ininterrupto para a conclusão da tarefa. Com o advento dos Computadores, esta afirmação não tem mais sentido.
De qualquer forma parece natural que os primeiros interessados em resolver este problema tenham procurado soluções menos demoradas, como ocorre em todo o processo científico.
No procedimento aleatório o cálculo das possibilidades nos fornece o seguinte valor:
9! (fatorial de nove), isto é, 9x8x7x6x5x4x3x2x1=362.880 possibilidades de colocação dos dígitos na matriz.
Diante desta dificuldade os matemáticos da antigüidade imaginaram outros caminhos para a solução do problema.
Uma das soluções consiste em fazer composições dos 9 dígitos 3 a 3:
1+5+9, 1+6+8, 2+4+9, 2+5+8, 2+6+7, 3+4+8, 3+5+7, 4+5+6 e, comparar com o quadro:

A L A

L C L

A L A

Comparando os resultados numéricos com a matriz de letras, observamos que há 4 elementos angulares (A), 4 laterais (L) e 1 central(C).
Se, ao executarmos as somas horizontais, verticais e diagonais verificarmos que os elementos laterais entram duas vezes na composição das somas, então eles são os números 1,3,7,9.
Como os angulares entram 3 vezes nas somas eles são o números 2,4,6,8.
Como o dígito 5 aparece 4 vezes nas somas ele é o elemento central.
Com as cartas dos baralhos vermelho e azul podemos construir Quadrados Mágicos 3 x 3 e com o baralho verde Quadrados Mágicos 4 x 4.
Em que consiste o processo Aleatório?
É a forma livre arbitrária, verificando a cada passo as somas das linhas, colunas e diagonais até chegar ao resultado desejado.
Se porém, de alguma forma tivermos por exemplo a informação de que o problema só tem solução quando o dígito 5 é o elemento central, ou que os dígitos pares devem ficar nos 4 cantos da matriz, isto é, são os elementos angulares, então o ataque ao problema não será mais aleatório.
Os indicadores citados, alteram a forma do processo de busca da solução, o processo passa a ser então o chamado processo Heurístico.
Todos os problemas com que nos defrontamos na vida diária e mesmo na ciência são em princípio resolvidos por uma destas duas formas de pensamento.
Mas, como sabemos muitos problemas podem ser resolvidos por fórmulas precisas, isto é, existem regras que utilizadas permitem que em um número finito de passos se consiga alcançar o objetivo procurado.
Estes procedimentos são chamados Algorítmicos (palavra derivada do árabe), utilizados não só para produzirmos uma receita de bolo como também para a formulação de programas de computador em diversas linguagens, um dos algoritmos mais famosos é a fórmula de Báskara, que tanto aterroriza os jovens do ensino básico.

Vejamos o processo algorítmico:



Seja a matriz:



x x x



x x x



x x x



Embora, seja possível chegarmos a solução do problema pela análise matemática, vamos colocar de forma arbitrária o dígito 1 na posição central da primeira linha:



x 1 x



x x x



x x x



e, partir daí vamos utilizar duas regras na construção automática de um Quadrado Mágico 3 x 3.
REGRA 1.
A partir do número 1 na posição em que se encontra na matriz façamos os seguintes deslocamentos: um movimento para cima, e se não for possível, como é o caso presente porque sairíamos dos limites da matriz, o deslocamento deve ser para a última linha na mesma coluna e daí um segundo deslocamento para à esquerda.
Coloque então o 2 na posição que lhe cabe na matriz.

Assim:



x 1 x



x x x



2 x x

Para colocar o número 3 proceda assim: Faça um deslocamento para cima a partir da posição do 2 e tente deslocar-se para á esquerda. Este segundo movimento também, não é possível porque novamente sairíamos dos limites da matriz. Então faça o deslocamento para o lado oposto na segunda linha e terceira coluna, assim:



x 1 x



x x 3



2 x x

Se, para colocarmos o número quatro partirmos da posição do número 3 e fizermos um deslocamento para cima e a seguir um para à esquerda chegaremos a posição já ocupada pelo número 1.
Então, o que fazer?
REGRA 2.
Quando a regra 1 não funciona aplica-se a regra 2 que consiste no seguinte:
Faça apenas um deslocamento para baixo na mesma coluna, assim:

x 1 x



x x 3



2 x 4



Para prosseguir volte a regra 1.



x 1 x



x 5 3



2 x 4



e, sucessivamente:



6 1 x



x 5 3



2 x 4



Na colocação do número 7 a regra 1 também não funciona, então aplicamos a regra 2, e para colocação dos números 8 e 9 voltamos a regra 1.
É, óbvio que partir de um certo estagio da construção do Quadrado Mágico, não precisamos mais das regras, uma vez que para completá-lo, sabemos que os ternos de números das linhas, colunas e diagonais devem somar 15.



O LIVRO NOVO E OS QUADRADOS MÁGICOS



Acompanha o livro novo um baralho com 48 figurinhas numeradas de 1 a 48, então com elas podemos construir não só os Quadrados Mágicos 3 x3, 4 x 4, 5 x 5, 6 x 6 e mesmo o 7 x 7.



3 x 3 6 1 8

7 5 3

2 9 4





4 x 4 16 2 3 13

5 11 10 8

9 7 6 12

4 14 15 1



5 x 5 15 8 1 24 17

16 14 7 5 23

22 20 13 6 4

3 21 19 12 10

9 2 25 18 11



6 x 6 6 32 3 34 36 1

7 11 27 28 8 30

19 14 16 15 23 24

18 20 22 21 17 13

25 29 10 9 26 12

36 5 33 4 2 31



7 x 7

O baralho que acompanha o livro novo tem somente 48 figurinhas e para construirmos um Quadrado Mágico 7 x 7 precisamos de 49 números sugerimos a colocação no lugar destinado ao número 49 um símbolo qualquer desde que esclareçamos que ele está representando este número.


Quadrado Mágico

7 x 7



22 47 16 41 10 35 4

5 23 48 17 42 11 29

30 6 24 (49) 18 36 12

13 31 7 25 43 19 37

38 14 32 1 26 44 20

21 39 8 33 2 27 45

46 15 40 9 34 3 28
No quadrado 3 x 3, como a soma dos números de 1 a 9 é 45, cada coluna deve somar 15, no quadrado 4 x 4 como a soma de 1 a 16 é 136, cada coluna deve somar 34, no quadrado 5 x 5, como a soma de 1 a 25 é 325, cada coluna deve somar 65, no quadrado 6 x 6, como a soma de 1 a 36 é 666, cada coluna deve somar 111. E, finalmente, no quadrado 7 x 7, como a soma de 1 a 49 é 1225, cada coluna deve somar 175.
Na Antigüidade, os Quadrados Mágicos recebiam denominações especiais 3 x 3, estava ligado ao planeta Saturno, 4 x 4 a Júpiter, 5 x 5 a Marte, 6 x 6 ao Sol e 7 x 7 a Vênus.

A álgebra de Boole

A Álgebra de Boole é uma estrutura matemática abstrata(George Boole-1813-1864).
Definição: Um conjunto A de elementos a,b,c,... e duas operações binárias, entre seus elementos, denominadas soma (+) e produto(.), formando a terna [ A, +, . ] é o que se denomina uma Álgebra de Boole se são válidas as seguintes leis:
Comutatividade: a + b = b + a, a . b = b . a
Associatividade: (a + b) + c = a + (b + c)
a . b ) c = a . ( b. c )
Distributividade: a + ( b. c ) = ( a + b ) . ( a + c )
a . ( b + c ) = ( a . b ) + ( a . c )

Observe que a multiplicação é distributiva em relação a adição como na álgebra clássica mas que aqui a adição também é distribuitiva em relação a multiplicação. Esta é uma notável diferença entre as duas álgebras.
Fechamento: Para quaisquer par a,b pertencente a A, a soma a+b e o produto a . b existem e são elementos únicos em A .
Identidade: para qualquer "a" pertencente a "A" existe um único "0" (zero) pertencente a "A" e um único "1" pertencente a "A" tal que: a + 0 = a, e, a .1 = a
Obs. O 0(zero) é denominado identidade aditiva e o 1(um) identidade multiplicativa.
Complemento:Para qualquer "a" pertencente a "A", existe um único "ã" pertencente a "A" denominado complemento de "a" tal que:
a + ã = 1 e, a . ã = 0.

Os Jogos Boole e o sistema binário

Nos Jogos Boole são também exploradas atividades para a introdução ao Sistema Binário.
No jogo de cartas verdes com 16 imagens (figurinhas) estimula-se que seja feita a escolha de uma das imagens.
Apresentam-se então quatro tabelas cada uma delas com oito imagens e pede-se a quem escolheu uma das imagens que indique em quais das tabelas se encontra a imagem escolhida de forma sigilosa(sem revelar a escolha).
As tabelas são construídas obedecendo a um critério binário, A=8,B=4,C=2,D=1.

Tabela A (11,10,14,13,12,15,8,9)

Tabela B (7,5,14,6,4,12,13,15)

Tabela C (6,3,7,2,10,14,11,15)

Tabela D (3,1,5,7,9,15,11,13)


Os Jogos Boole e os quadrados mágicos

Nos Jogos Boole utilizamos a numeração das cartas para construirmos Quadrados Mágicos e explorarmos as formas de raciocínio Aleatório, Heurístico e Algorítmico.
Os Quadrados Mágicos são problemas milenares que teriam sido tratados inicialmente pelos chineses há mais de três mil anos antes de Cristo. Eles constam basicamente da colocação dos nove algarismos (dígitos) chamados significativos 1,2,3,4,5,6,7,8,9 em nove celas, quadrados semelhantes aos utilizados no "Jogo da Velha". O objetivo é conseguir colocar os números de modo que as somas das três casas horizontais, das três casas verticais (linhas e colunas) e também das três casas diagonais principais tenham a mesma soma. No quadrado 3x3, a soma deve ser 15, porque se somarmos os números de 1 a 9 teremos como soma 45, e sendo as linhas e colunas formadas por três casas temos 45/3=15.
Se colocarmos os números de forma aleatória, os calculos mais otimistas indicam que seriam muitos dias de trabalho ininterruptos para a conclusão da tarefa. É portanto, natural que se procurassem soluções mais simples para a solução deste problema. (O cálculo das possibilidades é (9!=9.8.7.6.5.4.3.2.1).
Uma das soluções buscadas para amenizar o esforço é fazer as composições dos 9 números 3 a 3 de modo que atendam as condições do problema e que são as seguintes:
1+5+9, 1+6+8, 2+4+7, 2+5+8, 2+6+7, 3+4+8, 3+5+7, 4+5+6, e compará-las com o quadro:
A L A
L C L
A L A

Ao executarmos as somas horizontais, verticais e diagonais verificamos que os elementos laterais entram duas vezes na composição das somas, logo : 1,3,7,9 são os laterais. Os angulares entram três vezes nas somas, então 2,4,6,8 são os angulares. O elemento central entra quatro vezes na composição das somas e o único elemento que aparece quatro vezes na composição das somas é o 5, portanto 5 é o elemento central. Conhecido o elemento central, e combinando-o com qualquer número angular, por exemplo 4, temos : 4+5+6=15. A partir daí torna-se fácil a terefa de formar o Quadrado Mágico.
4 9 2
3 5 7
8 1 6

A importância do material concreto

A Psicologia alcançou um grande desenvolvimento nesta segunda metade do século XX. A mais notável contribuição para a psicologia cognitiva é atribuída a Jean Piaget.
Durante pelo menos três décadas os professores demonstraram grande interesse pelas etapas de desenvolvimento mental estabelecidas por Piaget.
Ao preconizar que a inteligência se constrói Piaget estabeleceu uma seqüência de etapas em que a etapa do pensamento concreto antecede a de pensamento abstrato necessariamente.
Para Piaget é da ação que a inteligência, o pensamento e a lógica derivam, pois a operação nasce da ação. A primeira característica das construções lógicas ou matemáticas é que são sistemas ou, se preferirmos, estruturas. Para compreendermos estas idéias precisamos atingir um nível de pensamento denominado por Piaget como pensamento operatório formal.
A característica do pensamento formal é de elaborar uma lógica que se baseia em proposições – o que a distingue da lógica das classes e das relações, que intervém no nível concreto e se baseia diretamente nos objetos.
Decorre daí que todos os jogos, e no primeiros níveis, os apoiados em material concreto, servem de alavancas para o desenvolvimento dos níveis superiores de pensamento necessários não só para o avanço das idéias matemáticas, mas também para a compreensão dos processos de aprendizagem de todas as disciplinas de um currículo básico.

Conjuntos proposições e circuitos

Podemos fazer uma correspondência entre proposições e conjuntos, e também a cada operação lógica podemos fazer corresponder uma operação com conjuntos.
Assim a Conjunção(Lógica) corresponde a Intersecção(Conjuntos), a Disjunção(Lógica) corresponde a Reunião(Conjuntos), a Negação(Lógica) corresponde a Complementação(Conjuntos).
Vemos então que existe uma analogia entre o Cálculo Proposicional e as operações com conjuntos.
A possibilidade do mesmo tratamento dos dois campos aparentemente distintos é de uma importância notável, ainda mais porque podemos aplicar o cálculo proposicional na construção de circuítos.
Isto é muito importante porque o Computador pode realizar mediante instruções uma sucessão praticamente infinita de operações a uma alta velocidade.
Um exemplo interessante das possibilidades que o Computador apresenta pode ser traduzida pelo exemplo a seguir:
Uma comissão de três membros terá seus votos registrados por um circuíto elétrico. Cada membro da comissão deverá apertar um botão se quiser dar voto positivo(sim) e não deverá apertar o botão se quiser dar voto negativo(não). Se houver maioria simples com voto afirmativo passará corrente e acenderá uma lâmpada.
Sejam as proposições:
p : O primeiro aperta o botão.
q : O segundo aperta o botão.
r : O terceiro aperta o botão.
A tabela lógica será a seguinte:
p q r
V V V (X)
V V F (X)
V V F (X)
V F F
F V V (X)
F F V
F F F

Os casos assinalados com (X) são de maioria simples (nestes casos passará corrente e a lâmpada acenderá).
Precisamos então construiri uma proposição que seja verdadeira nestas condições.
A proposição P(p, q, r), que é verdadeira somente nas situações assinaladas com (X), é :

(p.q.r) + (p.q.~r) + (p.~q.r) + (~p.q.r)
A construção do circuíto lógico, e as condições de seu funcionamento é tarefa para o técnico em eletricidade.

Formas de pensamento

Os Quadrados Mágicos são problemas dos mais intrigantes e segundo a lenda foram descobertos pelos chineses há mais de 5.000 anos, rivalizando em interesse com os grandes problemas matemáticos de todos os tempos. Nos jogos Boole utilizamos os Quadrados Mágicos para mostrarmos as formas de pensamento que utilizamos na solução de todos os problemas desde os mais simples até os problemas científicos.
Estes processos receberam a denominação de : Aleatório, Heurístico e Algoritimico. Os Quadrados Mágicos nada são além do que matrizes quadradas do tipo 3 x 3, 4 x 4, etc., em que todas as suas linhas, colunas e diagonais principais devem somar o mesmo número. Assim, uma matriz 3 x 3 formada pelos números de 1 a 9, deve ter como soma de cada linha, coluna, ou diagonais a soma 15, porque a soma de 1 a 9 sendo igual a 45, e todas as linhas, colunas e diagonaias devendo ter a mesma soma, esta soma terá que ser 15.
Este joguinho que acompanha estas observações permite que você forme Quadrados Mágicos, utilizando primeiramente somente os números que estão no círculo, e depois somente os que estão no quadrado, ou somente no triângulo, ou ainda somente no pentágono.
Eles podem ser utilizados como uma forma de brincadeira com crianças ou mesmo com adultos. Porém, se você quiser torná-los mais do que uma simples brincadeira tente descobrir as leis de formação dos Quadrados Mágicos em cada um dos quatro casos apresentados
Tente descobrir as oito soluções do problema 3 x 3, e também quando o problema não tem solução.


Os Jogos Boole e as histórias lógicas

As histórias apresentadas nos Jogos Boole tem como solução verdadeiras matrizes no sentido matemático do termo, isto é, quadros de fileiras e colunas conexas.
As colunas correspondendo aos critérios característicos da estrutura pré-determinada e as linhas correspondendo aos objetos de mesmas categorias(ou significações).
Os Jogos Lógicos são importantes porque o Computador sendo uma máquina lógica tanto quando aritmética deve combinar contingências de acordo com algum algoritmo sistemático.
Embora existam inúmeros algorítmos que poderiam ser utilizados na combinação de contingências, o mais simples é conhecido como Álgebra de Boole.
Este algoritmo, como a aritmética binária, baseia-se na dicotomia, isto é, na escolha entre o "sim" e o "não", ou seja no fato de estar em uma classe ou fora dela.
Nos computadores digitais a informação é manejada com representações de números.
Esta forma pode implicar relações matemáticas simples ou complexas, tomada de decisões baseadas nos fundamentos das características e combinações distintas destas relações.
Os Jogos Boole tratam destes assuntos que estão agora chegando a escola e ao grande público.
Computadores, telefones celulares, códigos de barra, Internet, fazem cada vez mais parte da rotina de todos nós.

Os Jogos Boole e a matemática

Os estudos cada vez mais intensos no tratamento matemático de idiomas divisam a linguagem como um código.
Um conjunto sistemático de signos e mecanismos interdependentes que nos permitam tratar como formalmente idênticos textos lingüísticos que possuam diferenças de ordem puramente semânticas.
A existência de uma álgebra para a linguagem natural nos permite calcular a resposta a uma pergunta da mesma forma como calculamos a resposta para um problema numérico.
No momento histórico no campo didático que estamos vivendo, com a evolução rápida das técnicas exige-se pessoas que saibam organizar informações para decidir com rapidez e enfrentar novas situações.
A solução de problemas de rotina exige apenas uma consulta ao banco de dados(memória) do indivíduo, eles não pedem mais do que um conhecimento "mecânico", não há apelo à inteligência mas somente a busca de um conhecimento já existente.
Ora, para esta tarefa as máquinas superam em muitos aspectos o ser humano.

Os Jogos Boole e a analogia homem-máquina

Os neurônios ou células nervosas são elementos que embora sofram influências elétricas, na sua ação fisiológica comportam-se como um jogo de “tudo ou nada”, de “sim” ou “não” de “1” ou “0”.
Esta analogia de comportamento do cérebro com a máquina levou a comparação entre o cérebro e o computador, mas na realidade o cérebro não é o análogo da máquina de computação, mas é a máquina eletrônica que produz um comportamento análogo a uma única função do cérebro que é a situação de um neurônio, situação esta que se traduz no estado de movimento (1) ou repouso (0) que o neurônio se encontre.
Isto, explica certamente porque temos todos e mais ainda as crianças não submetidas a procedimentos inibidores grande facilidade na assimilação dos procedimentos lógico-matemáticos do tipo booleano, embora não necessariamente saibam conscientemente que os estão utilizando.
Dessa analogia surgiu a idéia de utilizar os circuitos nas máquina de calcular eletrônicas que realizam operações no sistema binário.
Entretanto, para facilitar o operador da máquina, a entrada e a saída dos dados numéricos é realizada na forma decimal.
Para vencer esta dificuldade as máquina são equipadas com codificadores e decodificadores apropriados para realizarem as conversões decimal-binária e binária-decimal.


Os Jogos Boole, os processos linguísticos e o sistema binário


A colocação como objeto de estudo dos modelos abstratos para o estudo da linguagem surge no início do século, embora já em 1894 Ferdinand Saussure tenha escrito:
“As relações em linguagem, são regularmente expressáveis em sua natureza fundamental por fórmulas matemáticas.
O matemático alemão Leibniz vislumbrou a possibilidade de que se fosse possível encontrar-se símbolos adequados para expressar todos os nossos pensamentos com nitidez e exatidão como a aritmética expressa relações entre números seria possível transformar a linguagem em uma espécie de cálculo.
O gênio alemão Gottfriend Wilhelm Leibniz foi um dos primeiros defensores do Sistema Binário.
Mais de um século após sua morte, George Boole, matemático inglês autodidata retomou as idéias de Leibniz na procura de uma linguagem universal.
A história registra como notável que um homem de origem humilde como Boole fosse capaz de assumir tal busca.
Boole era filho de comerciantes pobres, e dificilmente naquela época poderia obter uma educação sólida, e muito menos dedicar-se a uma carreira intelectual.
Mas, criança precoce, aos 12 anos Boole já dominava o latim e o grego.
Mais tarde, incorporou o francês, o alemão e o italiano aos seus conhecimentos.
Posteriormente, dedicou-se a matemática estudando todas as publicações especializadas que conseguia.
Durante dez anos Boole dedicou-se a construir sua reputação com grande produção de textos para periódicos locais.
Seu trabalho causou tão boa impressão que, em 1849, foi convidado para fazer parte de uma faculdade na Irlanda. Boole criou um sistema de lógica simbólica chamado mais tarde de Álgebra de Boole.
Mas, só um século depois que cientistas unindo suas fórmulas aos sistema binário de numeração, o que tornou possível o Computador.
A Álgebra concebida por Boole era um sistema de símbolos e regras aplicável a qualquer coisa, desde números e letras a objetos e enunciados.
Com esse sistema, Boole pôde codificar proposições – isto é, enunciados que se pode provar serem verdadeiros ou falsos – em linguagem simbólica, e então manipula-las quase da mesma maneira como se faz com os números.


Os Jogos Boole e o método utilizado

O método axiomįtico

Fazemos deduções a todo o momento.

Deduēões sćo formas de raciocķnio em que as conclusões dependem das premissas ou hipóteses.
Nas situações da vida de todos os dias é difķcil chegar a conclusões seguras porque as premissas aceitas por uns nćo sćo aceitas por outros.
Na Matemįtica, entretanto, é preciso que todos estejam de acordo e aceitem as mesmas premissas, de modo que nćo se chegue a conclusões contraditórias.
Nenhuma premissa pode ser modificada durante o processo de argumentaēćo. As premissas nćo se discutem, se aceitam como hipóteses nćo interessa se sćo verdadeiras, o que interessa sćo as conclusões que se podem obter destas hipóteses.
Se as premissas sćo verdades entćo que verdades podemos deduzir delas, este é o objetivo do processo dedutivo.
Esta é a metodologia utilizada nos Jogos Boole com suas histórias lógicas.

Os Jogos Boole e as máquinas

As máquinas são cada vez mais utilizadas nos bancos, nos escritórios comerciais e nos laboratórios porque os métodos mecânicos e elétricos são mais rápidos do que os manuais.
Assim é uma imensa vantagem remover o elemento humano de qualquer processo elaborado de computação e introduzí-lo apenas onde ele for absolutamente indispensável, isto é, no inicio e no fim das operações.
Nestas condições compensa ter um instrumento para mudar a escala de notações a ser utilizada no início e no fim da cadeia de computação e realizar todos os processos intermediários na escala binária.
O algoritmo que melhor se ajusta a esta técnica é o conhecido como Álgebra da Lógica ou Álgebra de Boole.
Esta álgebra, como a aritmética binária, baseia-se na dicotomia, a escolha entre o "sim" e o "não", a escolha entre estar em uma classe ou fora dela. A importância deste fato é fantástica porque os sistemas nervosos animal e humano, sabidamente capazes de um sistema de computação contém elementos adequados para atuarem como relés.

Uma ferramenta na busca da formalização do pensamento

Inicialmente escolhe-se uma nova linguagem simbólica ou formal para exprimir a teoria em substituição a uma linguagem natural.
Posteriormente, organizam-se as assertivas da teoria dedutivamente, isto é, escolhe-se algumas assertivas como axiomas ou postulados a partir das quais as outras podem ser gradativamente obtidas.
Então, exprime-se as propriedades dos termos do universo do discurso através de novos axiomas até que o significado destes termos ordinários(fora do universo do discurso) e os princípios usados para decidir quando uma assertiva é conseqüência (lógica) de outras.
O resultado é uma teoria em que se abstraiu inteiramente o conteúdo ou significado dos termos restando apenas a sua sintaxe ou forma.
A teoria está então completamente formalizada.
Uma teoria formalizada contém uma primeira parte relativa ao universo do discurso em questão e uma segunda parte relativa a linguagem formal e aos princípios lógicos adotados.
A primeira parte é intrínseca à teoria, mas a segunda parte pode ser separada e usada novamente em outros contextos.
Um sistema formal consiste exatamente de uma linguagem formal e de uma abstração adequada para os princípios usados para decidir quando uma assertiva é conseqüência(lógica) de outras.
No desenvolvimento da Programação em Lógica, estes conceitos são importantes, pois um programa em Lógica, na sua forma mais geral, nada mais é do que uma teoria completamente formalizada e descrita por um número finito de axiomas.
Estas idéias dão suporte aos objetivos dos Jogos Boole que buscam através de formas concretas conduzir o indivíduo no processo de formalização de suas idéias.
Pode não ser uma tarefa fácil, mas é uma tarefa possível.

Os Jogos Boole e os sistemas hipotéticos dedutivos

As histórias utilizadas nos Jogos Boole tem uma estrutura lógico matemática em que se apóiam para se constituírem em um sistema hipotético-dedutivo.
Nas estruturas não são obrigatoriamente feitas referências explicitas a qualquer assunto específico, e, se, conseguirmos descobrir as implicações que resultam dos axiomas, não será por causa das propriedades que possuem, porque eles indicam qualquer classe de entidades possíveis, com a única restrição de que devem "satisfazer", ou estar de acordo com as relações formais estabelecidas nos axiomas.
Nossas "hipóteses", portanto, consistem em relações consideradas como verdadeiras ainda que os termos sejam indefinidos, que podem ser qualquer coisa, contanto que o que eles simbolizam esteja de acordo com as relações estabelecidas entre eles.
Este procedimento caracteriza a moderna técnica matemática, e como veremos toma possível dar uma variedade de interpretações aos elementos indefinidos, e, assim, apresentar uma identidade de estrutura em diferentes conjuntos concretos.
Entendemos por "Estrutura Matemática" não obrigatoriamente algo expresso em números mas a relação interna essencial entre elementos componentes de um problema.
Este é o tratamento adequado porque na verdade isto é tudo o que a Matemática significa em si mesma.
No trabalho com os jogos apresentamos alguns exemplos de problemas solucionados pelos procedimentos booleanos.

Os Jogos Boole e o computador


Não há pesquisa moderna sem o Computador.
Precisamos tratar os problemas de modo diferente.
A extraordinária possibilidade de efetuarmos cálculos afetou a natureza da teoria e dos problemas.
Os Computadores tornaram possível realizar operações repetitivas a altíssima velocidade e a simular processos de pensamentos humanos com grande sucesso.
Já é possível demonstrar teoremas lógicos muitas vezes difíceis até para especialistas em lógica.
O Computador exige um ataque diferente aos adotados até hoje na solução dos problemas sejam quais forem e principalmente aos problemas matemáticos.
Os métodos de solução estão profundamente alterados pelo Computador.
A formatação(algoritmo) do problema, o raciocínio, o caminho a ser adotado na busca da solução, a estrutura, são hoje mais importantes do que os cálculos.
Os Jogos Boole foram criados com esta preocupação.

Os Jogos Boole e os isomorfismos

Uma estrutura comporta em primeiro lugar elementos e relações que os unem, sem que seja, no entanto, possível caracterizar ou definir esses elementos independentemente das relações em jogo. Os elementos podem ser de natureza muito diversas. As relações podem consistir também em ligações de toda a espécie: afirmativas, implicativas, etc., segundo o tipo de estrutura.
As estruturas assim definidas podem ser consideradas independentemente dos elementos que as compõem. Podemos considerar a estrutura enquanto "forma" ou sistema de relações, e isto é indispensável para as nossas comparações porque é o princípio de todo o isomorfismo. Dir-se-á que existe um isomorfismo entre duas estruturas se for possível estabelecer uma correspondência biunívoca entre seus elementos, assim como entre as relações que os unem conservando estas relações. Como é possível fazer abstração desses elementos e da sua natureza, um isomorfismo entre duas estruturas acaba por reconhecer a existência de uma mesma estrutura, mas aplicada a dois conjuntos de elementos diferentes.
Estas idéias estão expressas no livro de Piaget, "Biologia e Conhecimento".
Nos Jogos Boole são utilizados estes procedimentos matemáticos porque são adequados para proporcionar a evolução das formas de pensar.

Piaget afirma:

"Com as operações hipotético-dedutivas que a combinatória proporcional permite a possibilidade de uma lógica formal, no sentido de uma estrutura organizadora aplicável a qualquer tipo de conteúdo. É o que torna possível a constituição da matemática "pura" como construção de formas de organizações prontas a organizar tudo, mas não organizando mais nada na medida em que estão dissociadas da sua aplicação."
A ciência tem mostrado possibilidade de um parentesco da lógica dos modelos cibernéticos e o trabalho do cérebro e hoje se busca identificar uma lógica dos neurônios que acreditamos ser possível mediante uma linguagem apropriada.
Com os Jogos Boole, é possível com um trabalho interdisciplinar identificar muitas situações de isomorfismos.

A Arte e o Cérebro no Processo da Aprendizagem





FACILITANDO A APRENDIZAGEM

Com as recentes pesquisas sobre o funcionamento do cérebro, a Teoria das Inteligências Múltiplas, a avaliação das aptidões cerebrais dominantes, e técnicas que foram criadas para acelerar a aprendizagem, tornou-se muito mais fácil aprender e gravar na memória o que estudamos.
Psicólogos, neurologistas e pesquisadores vêm escrevendo os resultados desses estudos, esclarecendo-nos e deixando-nos entusiasmados com os resultados obtidos por quem utiliza essas técnicas.

O LADO DIREITO DO CÉREBRO

A grande maioria das pessoas foi acostumada a pensar e agir de acordo com o paradigma cartesiano, baseado no raciocínio lógico, linear, seqüencial, deixando de lado suas emoções, a intuição, a criatividade, a capacidade de ousar soluções diferentes.
António Damásio, respeitado e premiado neurologista português, radicado nos Estados Unidos e com muitos trabalhos publicados, em seu recente livro O erro de Descartes, afirma que “o ponto de partida da ciência e da filosofia deve ser anti-cartesiano: "existo (e sinto), logo penso”.
A visão do homem como um todo, é a chave para o desenvolvimento integral do ser.
Utilizando mais o hemisfério esquerdo, considerado racional, deixamos de usufruir dos benefícios contidos no hemisfério direito, como a imaginação criativa, a serenidade, visão global, capacidade de síntese e facilidade de memorizar, dentre outros.
Através de técnicas variadas poderemos estimular o lado direito do cérebro e buscar a integração entre os dois hemisférios, equilibrando o uso de nossas potencialidades.
Uma dessas técnicas consiste em fazer determinados desenhos, de forma não convencional, de modo que o hemisfério esquerdo ache a tarefa enfadonha e desista de exercer o controle total, entregando o cargo ao hemisfério direito, que se delicia com o exercício.
O uso de música apropriada que diminui o ritmo cerebral, também contribui para que haja equilíbrio no uso dos hemisférios cerebrais.
Há pesquisadores que sugerem a música barroca, especialmente o movimento “largo”, que causa as condições propícias para o aprendizado. Ela tem a mesma freqüência que um feto escuta e nos direciona automaticamente ao lado direito do cérebro, fazendo com que as informações sejam gravadas na memória de longo prazo.
Músicas para relaxamento, como as “new age”, surtem os mesmos efeitos.
Nossa mente regula suas atividades através de ondas elétricas que são registradas no cérebro, emitindo minúsculos impulsos eletroquímicos de variadas freqüências, podendo ser registradas pelo eletroencefalograma. Essas ondas cerebrais são conhecidas como:
Beta, emitidas quando estamos com a mente consciente, alerta ou nos sentimos agitados, tensos, com medo, variando a freqüência de 13 a 60 pulsações por segundo na escala Hertz;
Alfa, quando nos encontramos em estado de relaxamento físico e mental, embora conscientes do que ocorre à nossa volta, sendo a freqüência em torno de 7 a 13 pulsações por segundo;
Teta, mais ou menos de 4 a 7 pulsações, é um estado de sonolência com reduzida consciência; e
Delta, quando há inconsciência, sono profundo ou catalepsia, emitindo entre 0,1 e 4 ciclos por segundo.
As duas últimas são consideradas patológicas.
Geralmente costumamos usar o ritmo cerebral beta. Quando diminuímos o ritmo cerebral para alfa, nos colocamos na condição ideal para aprendermos novas informações, guardarmos fatos, dados, elaborarmos trabalhos difíceis, aprendermos idiomas, analisarmos situações complicadas.
A meditação, exercícios de relaxamento, atividades que proporcionem sensação de calma, também proporcionam esse estado alfa.
De acordo com neurocientistas, analisando eletroencefalogramas de pessoas submetidas a testes para pesquisa do efeito da diminuição do ritmo cerebral, o relaxamento atento ou o profundo, produzem aumentos significativos de beta-endorfina, noroepinefrina e dopamina, ligados a sentimentos de clareza mental ampliada e de formação de lembranças, e que esse efeito dura horas e até mesmo dias. É um estado ideal para o pensamento sintético e a criatividade, funções próprias do hemisfério direito.
Como é fácil para este hemisfério criar imagens, visualizar, fazer associações, lidar com desenhos, diagramas e emoções, além do uso do bom humor e do prazer, o aprendizado será melhor absorvido se estes elementos forem acrescentados à forma de se estudar.

USO INTEGRAL DO CÉREBRO

O ideal é que nos utilizemos de todo o potencial do cérebro, riquíssimo, surpreendente!
Quando levamos uma vida inteira exercitando quase que só as funções do hemisfério esquerdo, ou só o lado direito, ocorrem as doenças cerebrais degenerativas, tão temidas, como o mal de Alzheimer, por exemplo.
Necessitamos, portanto, estimular as diversas áreas do nosso cérebro, ajudando os neurônios a fazerem novas conexões, diversificando nossos campos de interesse, procurando nos conhecer melhor para agirmos com maior precisão e acerto.
Howard Gardner, o psicólogo americano criador da Teoria das Inteligências Múltiplas, identificou inicialmente sete tipos de inteligência no ser humano que são estimuladas e expressas de formas diferentes, de acordo com cada pessoa. São elas:
• verbal/linguística;
• lógica/matemática;
• musical; corporal/cinestésica;
• visual/espacial;
• interpessoal;
• intrapessoal.

Atualmente foi acrescentada a inteligência naturalista e a existencial, estando esta última ainda em estudo.
A Teoria das Múltiplas Inteligências deverá ser aplicada não apenas com os diversos indivíduos, para atingir cada pessoa, de acordo com o seu ponto de interesse, mas em nós mesmos, buscando desenvolver cada tipo de inteligência que trazemos em estado latente.
Foi desenvolvido nos Estados Unidos um sistema de avaliação das aptidões cerebrais dominantes, utilizado também por alguns escritores nacionais e que mostra com clareza quais as áreas do cérebro que damos maior preferência e, daí, é feito um perfil psicológico da pessoa, sua maneira de agir na vida, qual o lugar de sua preferência numa sala de aula, como melhor aprende, etc. A esse resultado, temos acrescentado outros elementos, dentro de uma visão holística do ser humano, que tem ajudado bastante as pessoas.
Conhecendo as áreas que são mais estimuladas, passa-se então a praticar uma série de exercícios para ativar as regiões menos utilizadas, de modo que, com o passar do tempo, nossa capacidade de agir como um ser humano integral estará bastante aprimorada.
Seremos lógicos e intuitivos, práticos e sonhadores, racionais e emotivos, seguiremos os padrões vigentes e utilizaremos a nossa criatividade, teremos “os pés no chão e a cabeça nas estrelas”... Seremos, enfim, do céu e da terra, captando todos os ensinamentos com facilidade, independente da faixa etária. Isto nos tornará muito mais capazes e autoconfiantes.

EXPERIÊNCIA COM O HEMISFÉRIO DIREITO

Desde 1992, quando iniciamos a coordenar o curso DLADIC – Desenvolvimento do lado direito do cérebro, onde utilizamos o desenho como pretexto para atingir os nossos objetivos, que vimos nos surpreendendo com o manancial riquíssimo que possuímos, armazenado em nosso cérebro, aguardando as condições propícias para se manifestar.
Nesse período, passaram pelo curso mais de trezentas pessoas. Cada uma com um interesse diferente, com uma motivação própria.
Quase todas, nos primeiros contatos, afirmavam ser incapazes de fazer qualquer tipo de desenho, de criar alguma coisa, de prestar atenção ou se concentrar em algo.
No decorrer do processo de desbloqueamento, essas pessoas iam ficando surpresas com os resultados visíveis nos seus trabalhos artísticos e com a descoberta de uma nova forma de ver o mundo e de ver-se a si mesmas.
Um dos primeiros exercícios é o de atenção, concentração, meditação. Utilizando uma folha de papel tamanho ofício, sem tirar o lápis do papel, o aluno vai traçando linhas retas horizontais e verticais que se cruzam, formando uma composição. Após preencher a folha de acordo com o seu gosto, pode consertar as linhas que ficaram mais tortas e, em seguida, contorná-las com hidrocor preto e pintar as formas que as linhas fizeram de modo que desligue temporariamente o hemisfério esquerdo a fim de dar vazão ao hemisfério direito, enquanto ouve-se música relaxante ou subliminar, em profundo silêncio, meditando sobre as seguintes questões:
• O que senti com a limitação de não poder tirar o lápis do papel, de só poder fazer linhas retas horizontais e verticais?
• Como reajo quando sou limitado nos meus gestos, quando tenho de seguir orientações vindas de fora de mim mesmo?
• Como convivo com isso no meu dia-a-dia?
• O que senti quando fui liberado para consertar o que errei?
• O que o erro representa para mim?
• Como convivo com as coisas simples?
• Em que o desenho se parece comigo, com a minha forma de ser?
• Na minha vida tem muitos labirintos? Tem muitos espaços inacessíveis? É uma vida clara, alegre, aberta para acolher o outro?
• Como lido com a minha vida?
• Tenho facilidade para me deixar conduzir pelo fluxo da vida, não apressando o rio?

São questionamentos que a pessoa vai fazendo e respondendo a si mesma, sem externar para os outros, se assim o quiser. Inclusive os próprios desenhos, que são utilizados como pretextos para ter acesso ao lado direito do cérebro, não precisam ser mostrados a ninguém. É um momento íntimo, pessoal, onde nos damos o direito de ser o que somos, com erros e acertos, sem censuras nem justificativas, arriscando a exploração de um campo novo e cheio de surpresas. É um caminho para o autodescobrimento.
Nesse exercício vemos alunos realizando trabalhos quase perfeitos num prazo de uma aula, e passando duas a três aulas para corrigir o que foi feito! Outros, se negam a consertar, dizendo: “minha vida é assim mesmo, cheia de traços tortuosos, não quero corrigi-los.” Alguns mostram-se confusos com a simplicidade da proposta, tão acostumados estão com a complexidade dos desafios que enfrentam diariamente. E refazem o exercício várias vezes, até conseguirem atender a contento a orientação dada...
Estando pronto o trabalho, a alegria é estampada no rosto diante da composição inesperada. Às vezes colocam no quadro, emoldurando-a, sentindo-se artistas.
Dessa composição, estimulamos a criatividade sugerindo a infinidade de novos trabalhos que poderão surgir a partir de pequenos detalhes ampliados e explorados com os mais diversos materiais e para as mais variadas finalidades: mural, divisória, painel, quadros a óleo, colagens, objetos tridimensionais, etc. No exercício para desenvolver o poder mental, vemos aqueles que estão acostumados à meditação, à busca do crescimento espiritual, se entregarem à tarefa com determinação, conseguindo colocar no papel o que visualizou e dando um colorido forte, rico em contrastes, prosseguindo em casa com as variações desse mesmo trabalho. Já os que não se preocupam muito com estas questões sentem mais dificuldade e precisam de um maior assessoramento.
Trabalhando com a criatividade, aproveitamos o desenho de observação para uma nova composição, onde o objeto do desenho é dissolvido, passando a ser parte do processo criativo, misturando-se com o todo. Tiramos parte desse trabalho, ou detalhes para novas criações, como se fosse uma cornucópia de onde saem sempre novas idéias.
Com esse exercício chamamos a atenção para o trabalho em equipe. A importância de cada componente para que o grupo ou a empresa sobressaia. Quando destacamos alguém da equipe, por mais insignificante que seja, poderemos estimulá-lo e ver surgir um rico potencial de grande utilidade e beleza. Quando valorizamos um pequeno grupo da equipe, o rendimento também pode ser bem melhor. Também ressaltamos a importância de respeitar os limites, os espaços.
Num estágio mais adiantado trabalhamos com o desbloqueio dos vícios de observação e a flexibilidade mental.
Nas tarefas recebidas, o aluno vai esquecer o nome dado às coisas e procurar ver o real, sem simbolismo algum, exatamente o que está à sua frente. Por vivermos distanciados do real, do verdadeiro, sofremos tanto! Imaginamos tantas coisas diante de um fato, de um gesto, de um acontecimento, quando o significado real era outro, completamente diferente do imaginado!
Neste trabalho, é solicitado a ver as situações por diversos ângulos: por dentro, por fora, comparando tamanhos, aberturas, distâncias... Saindo da parte para o todo e vice-versa, de forma constante, num estado de relaxamento atento, esquecido do tempo e das preocupações que tinha nos momentos que antecederam a aula. É sugerido que leve a experiência para o dia-a-dia, procurando descobrir sempre novas soluções para os problemas e desafios da vida, evitando não cristalizar idéias e pontos de vista.
Estimulamos a observação atenta do companheiro que trilha conosco o mesmo caminho na vida, flexibilizando a mente para olhá-lo sem os conceitos e preconceitos que enraizamos em nós mesmos ao longo da convivência. Por mais tempo que tenhamos de convivência, não conhecemos ninguém o suficiente, pois todos nós estamos em processo contínuo de mudança. E cada pessoa é sempre uma incógnita que nos surpreende.
Utilizamos nesse exercício a figura humana em desenhos realizados com traços, a lápis ou bico de pena.
No decorrer do curso algumas pessoas saem e dão um tempo. Depois voltam e me dizem que determinado trabalho mexeu tanto com elas que resolveram fazer terapia ou se trabalharem melhor em determinado aspecto que não tinham dado a devida importância antes.
Outras, com um pequeno estímulo, descobrem o potencial artístico que têm e se lançam no mundo das artes, criando e pintando quadros que são levados à exposição até em outro estado do Brasil. Uma dessas alunas, fez apenas um mês de aula e passou a pintar quadros, viajando em seguida por vários países, descobrindo coisas novas, deixando dois painéis seus num restaurante da Nova Zelândia.
Vemos crianças conseguindo concentrar-se em casa para fazer os seus deveres estudantis, adolescentes encontrando mais facilidade na aprendizagem das matérias escolares, adultos escrevendo melhor, compreendendo a comunicação não-verbal, lendo mais e conseguindo um maior relaxamento diante das tensões diárias. Idosos empregando o seu tempo na aquisição de maiores conhecimentos, na realização de antigos sonhos, na descoberta de suas potencialidades.
A música, o silêncio interior e exterior, os exercícios de desenho, de criatividade, as mandalas e, em algumas ocasiões, a videoterapia, têm sido fortes aliados na conquista dessa riqueza íntima que possuímos e não sabíamos ser possuidores.
Com os avanços das pesquisas sobre o cérebro, acrescentamos novas abordagens a este curso, visando o uso de todo o potencial do cérebro, procurando equilibrar o hemisfério esquerdo com o hemisfério direito. Passou então a ser chamado Criatividade e Cérebro, para aulas em grupo e Em busca da harmonia, para ser mais feliz, para o atendimento individual.
Atualmente, encontram-se à disposição de quantos queiram estar preparados para o novo milênio, os mais diferentes recursos de crescimento interior, divulgados pelos mais diversos meios, através de profissionais interessados na formação de uma nova sociedade. É só buscar...

O Processo de Aprendizagem



A aprendizagem é um fenômeno extremamente complexo, envolvendo aspectos cognitivos, emocionais, orgânicos, psicossociais e culturais. A aprendizagem é resultante do desenvolvimento de aptidões e de conhecimentos, bem como da transferência destes para novas situações.

O processo de aprendizagem é desencadeado a partir da motivação. Esse processo se dá no interior do sujeito, estando, entretanto, intimamente ligado às relações de troca que o mesmo estabelece com o meio, principalmente, seus professores e colegas. Nas situações escolares, o interesse é indispensável para que o aluno tenha motivos de ação no sentido de apropriar-se do conhecimento.

Essas observações se aplicam a qualquer educando, mas revestem-se de particular importância quando trata-se de alunos com necessidades educativas especiais, como é o caso de pessoas surdas. Cabe aos educadores proporcionar situações de interação tais, que despertem no educando motivação para interação com o objeto do conhecimento, com seus colegas e com os próprios professores. Porque, embora a aprendizagem ocorra na intimidade do sujeito, o processo de construção do conhecimento dá-se na diversidade e na qualidade das suas interações. A ação educativa da escola com esse alunado deve incluir: conteúdos curriculares específicos, como suporte e complementação ao trabalho a ser desenvolvido em sala de aula com os currículos regulares de modo a atingir os objetivos traçados. Torna-se também indispensável oferecer aos alunos surdos condições para interagir com o "mundo ouvinte", despertando neles interesses, necessidades e desejo de se apropriarem do saber e do saber fazer.

Aprendizagem é uma modificação relativamente duradoura do comportamento através de treino, experiência e observação...para que a aprendizagem provoque uma efetiva mudança de comportamento e amplie cada vez mais o potencial do educando, é necessário que ele perceba a relação entre o que está aprendendo e a sua vida, pois as pessoas aprendem de maneiras diversas, conforme diferentes elementos. (CUNHA e FERLA, 2002)
A capacidade de aprender está presente em todos os indivíduos sendo que para alguns ocorre uma relativa dificuldade de assimilação e manutenção de seu conhecimento, ligando o processo de absorção daquilo que se quer aprender a fatores muito mais relevantes do que o simples fato de necessitar fixar aquilo que é ensinado.
O pensamento propriamente dito é gerado pela motivação, isto é, por nossos desejos e necessidades, nossos interesses e emoções. Por trás de cada pensamento há uma tendência afetivo-volitiva. Uma compreensão plena e verdadeira do pensamento de outrem só é possível quando entendemos sua base afetivo-volutiva Desta forma não seria válido estudar as dificuldades de aprendizagem sem considerar os aspectos afetivo (VYGOTSKY, 1991
A educação seja ela no âmbito escolar ou em qualquer ambiente de aprendizagem, tem buscado aprimorar seus conceitos e metodologias no sentido de propiciar ao integrante do processo educacional a assimilação adequada daquilo que lhe é ensinado, fato que tem sido alvo de constantes discussões e reflexões entre agentes educacionais e teóricos do assunto para que se consiga organizar o processo de aprendizagem de forma mais objetiva para a aquisição do conhecimento pelo indivíduo envolvido nesse processo.
Como pode ser observado por ANTONACOPOULOU; GABRIEL (2001), a assimilação da aprendizagem é fator diretamente ligado ao emocional de quem integra o processo, dessa forma, podemos observar um envolvimento direto de fatores relacionados à capacidade de aprendizagem se promoverem através do envolvimento diretamente emocional do indivíduo com aquilo que está sendo ensinado, sendo que para ele a assimilação se processa diante daquilo que é relevante para sua vivência prática.
De forma recíproca o aprendizado também é afetado pelas emoções: "aprendizagem então é um processo profundamente emocional – dirigido, inibido e guiado por diferentes emoções, incluindo medo e esperança, excitamento e desespero, curiosidade e ansiedade" Ou seja, existe uma relação dialógica entre emoção e aprendizagem. (ANTONACOPOULOU; GABRIEL, 2001).


Para Kolb (1984) a importância de educar para a vida está em um contexto em que o indivíduo possa absorver o objeto de sua aprendizagem em sua vida cotidiana, reforçando assim o conceito aqui abordado de que para a concretização da aprendizagem é necessário que ocorra mais do que transmissão de conhecimento, mas também um envolvimento direto do indivíduo naquilo que lhe é ensinado, caracterizando assim um processo emocional vinculado à absorção do conhecimento.

O conhecimento é criado através de um processo contínuo. Num primeiro momento, as experiências concretas vividas pela pessoa irão servir de base para os processos de observação e reflexão. Com os processos de observação e reflexão formam-se conceitos abstratos e generalizações, as quais serão testadas através da experimentação em situações novas. Desta forma, novos conhecimentos são construídos (KOLB, 1984; 1987).

A partir de uma análise mais reflexiva da forma como ocorre a fixação da aprendizagem no indivíduo podemos afirmar que o conhecimento para ser relevante a pessoa e com isso permanecer em seus reflexos mentais para agrupar-se a seu processo de assimilação precisa ser relevante aos seus interesses, para que ele possa absorver com precisão aquilo que lhe é repassado enquanto objeto de aprendizagem.

A aprendizagem é muito mais significativa à medida que o novo conteúdo é incorporado às estruturas de conhecimento de um aluno e adquire significado para ele a partir da relação com seu conhecimento prévio. Ao contrário, ela se torna mecânica ou repetitiva, uma vez que se produziu menos essa incorporação e atribuição de significado, e o novo conteúdo passa a ser armazenado isoladamente ou por meio de associações arbitrárias na estrutura cognitiva. (AUSUBEL, 2002)

Sendo o estudo das emoções fator preponderante na descoberta da relação homem e mundo, necessário se faz integrar a esse contexto reflexões a cerca de como o processo de aprendizagem pode ser melhor trabalhado quando priorizada a utilização de meios e metodologias que viabilizem sua inserção no processo emocional da pessoa, buscando assim a fixação do conhecimento enquanto parte integrante da vivência de cada um.

Ao se refletir sobre a aprendizagem, cabe destacar ainda que nenhuma época acumulou sobre o homem conhecimento tão numeroso e diverso como a atual. Mas, também, época nenhuma soube menos do homem, pois pouco se sabe acerca dos sentimentos presentes no processo de aprendizagem. Assim, este estudo propõe-se a diminuir tal lacuna, buscando aprofundar-se no conhecimento tácito e aliar a ele os aspectos emocionais do ser humano. (NONAKA; TAKEUCHI, 1997)

COMPASSO





É utilizado para traçar arcos de circunferência, circunferências e também para comparar e transportar medidas.
A ponta de lápis (mina) do compasso deve estar sempre bem afiada, pelo que uma lixa deve constar do teu material escolar.
Para uma correcta utilização do compasso é preciso que o segures pela haste e nunca pelos braços.
Se não tiveres cuidado com este instrumento, não consegues obter um desenho rigorosamente feito.

Nota:

Quando o compasso está fechado, as duas pontas devem ter o mesmo comprimento para que este funcione convenientemente.
.....................................................................................

"Os jogos antigos são os melhores jogos. Um dos mais antigos são as construções geométricas. Como Platão especificou, o jogo é executado com uma régua e um compasso, onde a régua é apenas usada para desenhar a recta que passa por dois pontos dados e o compasso é usado unicamente para desenhar um círculo de centro dado e que passa por um determinado ponto."

Ao falarmos em construções com régua não graduada e compasso estamos a referir-nos aos três primeiros postulados dos Elementos de Euclides. Estes postulados são a base destas construções, muitas vezes designadas por construções euclidianas. Nos Elementos de Euclides não se menciona o compasso ou quaisquer outros instrumentos, Euclides simplesmente assume que linhas rectas podem ser construídas dados dois pontos, e que uma circunferência pode ser construída dado o seu centro e passando por um outro ponto[2].
Para os geómetras gregos, um problema resolúvel com régua não graduada e compasso era um problema cuja solução passava por construir os elementos desconhecidos, utilizando apenas a régua não graduada e o compasso, a partir dos elementos geométricos conhecidos. O que significa, executar construções que se possam fundamentar nos três primeiros postulados dos Elementos de Euclides.
Nesta obra de Euclides podemos encontrar vários problemas de construções geométricas, cujas soluções podem ser obtidas com o uso exclusivo da régua não graduada e do compasso e a maioria dessas construções geométricas, embora não sejam da matemática elementar, fazem apelo a métodos geométricos simples. Efectivamente, muitas das proposições têm a forma de um enunciado de um problema de construção geométrica.

Seguidamente podemos encontrar alguns exemplos de construções com régua não graduada e compasso. Estamos assim perante um jogo - o jogo euclidiano das construções geométricas - em que previamente (como em qualquer jogo) foram estabelecidas as regras. Neste caso, temos como regra: os instrumentos permitidos para jogar são a régua não graduada e o compasso euclidiano.

Vejamos como efectuar, com a utilização, apenas, da régua não graduada e do compasso as quatro operações fundamentais mais a extracção da raiz quadrada.

Sejam dois segmentos de recta que têm como medida de comprimento respectivamente os números a e b, dada uma unidade de comprimento previamente escolhida. Se conseguirmos construir um segmento que (nessa mesma unidade) tenha como medida de comprimento a soma, a diferença, o produto e o quociente desses dois números a e b, e um segmento que tenha como medida de comprimento a raiz quadrada da medida de comprimento do segmento escolhido, então fundamentamos o nosso propósito.
Construir os segmentos de medidas de comprimento AB+CD, AB-CD, , AB/CD e é um processo simples e de justificação directa, no campo da geometria elementar, como se ilustra a seguir:

i) AB+CD

Tracemos uma linha recta e nela construamos - por Elementos I, 2 - um segmento congruente com AB. Pretendemos construir, sobre a mesma recta, um segmento congruente com o segmento CD e de modo a que B coincida com C. Construamos uma circunferência com centro em B e raio CD, que vai intersectar a recta nos pontos D e E. Um destes dois pontos, digamos D, é tal que B está entre A e D. Portanto, está construído, apenas com régua não graduada e compasso, o segmento AD, ou seja, AB+CD.


ii) AB-CD

A construção do segmento AB-CD é análoga à anterior, com certo cuidado na escolha dos segmentos AB e CD. Tente elaborar essa construção.

iii) AB . CD

Sobre uma linha recta marquemos o segmento de comprimento AB. A partir de A construamos uma semi-recta onde marcamos a unidade e, seguidamente, o segmento de comprimento CD. Unamos o ponto C com o ponto B (segmento verde na figura seguinte). Construamos uma paralela a este segmento passando por D (a azul na figura); assim construímos o segmento de comprimento.


Mírian Soares Bandeira






ENSINO E APRENDIZAGEM DE GEOMETRIA E ARTE ATRAVÉS DE UM TRABALHOCONJUNTO DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA E EDUCAÇÃO ARTÍSTICA






O projeto que originou este pôster teve como objetivo pesquisar os saberes sobre a relação Geometria e Arte e sobre a própria Geometria que os alunos produzem quando participam de aulas exploratório-investigativas. A fim de compreender como são constituídos esses saberes e a influência destas atividades na concepção dos estudantes com relação à Matemática escolar, desenvolvemos uma pesquisa, cujas questões de investigação foram: “Quais saberes sobre a relação Geometria e Arte são produzidos por alunos da 6ª série do Ensino Fundamental quando participam de aulas exploratório investigativas?
Qual a influência destas atividades nas concepções dos alunos relativamente à Matemática escolar?”.
O trabalho de campo se constituiu em: elaboração e desenvolvimento, em conjunto com os professores de Matemática e de Educação Artística, de atividades em sala de aula de 5ª série de uma escola estadual de São Francisco de Assis-RS.
Instituto Salgado Filho: elaboração e aplicação de dois questionários a serem respondidos pelos alunos antes e depois de desenvolvidas todas as atividades; entrevistas periódicas com as professoras envolvidas para avaliação do trabalho. Convém salientar que como conclusão das atividades desenvolvidas nas aulas de matemática foram produzidos pelos alunos, nas aulas de Educação Artística, trabalhos inspirados nas obras de Mondrian, um dos artistas que nortearam este projeto. As fotos destes trabalhos assim como as fotos das obras que nortearam as atividades encontram-se reproduzidas. Na análise foram considerados três eixos: 1 – os saberes constituídos pelos alunos em Matemática, especialmente em Geometria, e em Arte, 2 –mudanças de atitude em relação à Geometria manifestadas pelos alunos nas respostas ao dois questionários e 3 –desenvolvimento profissional das professoras em uma proposta de transformação curricular inserindo Matemática e Artes de forma integrada. Este terceiro eixo é um resultado complementar, que foi percebido no material de análise produzido pela pesquisadora. O projeto foi possível graças a dedicação de cada aluno e do apoio da escola a qual desenvolvi este trabalho ao longo do segundo semestre de 2006.
Programa necessario para o bom andamento do trabalho é Corel Draw.

COMO ENSINAR MATEMÁTICA HOJE?




A comunidade de Educação Matemática internacionalmente vem clamando por renovações na
atual concepção do que é a matemática escolar e de como essa matemática pode ser abordada. Questiona-se também a atual concepção de como se aprende matemática.
Sabe-se que a típica aula de matemática a nível de primeiro, segundo ou terceiro graus ainda éuma aula expositiva, em que o professor passa para o quadro negro aquilo que ele julga importante. 0 aluno, por sua vez, copia da lousa para o seu caderno e em seguida procura fazer exercícios de aplicação, que nada mais são do que uma repetição na aplicação de um modelo de solução apresentado pelo professor. Essa prática revela a concepção de que é possível aprender matemática através de um processo de transmissão de conhecimento. Mais ainda, de que a resolução de problemas reduz-se a procedimentos determinados pelo professor.
Algumas conseqüências dessa prática educacional têm sido observadas e estudadas pelos educadores matemáticos (ver Schoenfeld. 1985). Faremos em seguida um breve levantamento de alguns aspectos que nortearão a discussão no desenrolar do texto.
Primeiro, alunos passam a acreditar que a aprendizagem de matemática se dá através de um acúmulo de fórmulas e algoritmos. Aliás, nossos alunos hoje acreditam que fazer matemática é seguir e aplicar regras. Regras essas que foram transmitidas pelo professor.
Segundo, os alunos acham que a matemática é um corpo de conceitos verdadeiros e estáticos, do qual não se duvida ou questiona, nem mesmo nos preocupamos em compreender porque funciona.
Em geral, acreditam também, que esses conceitos foram descobertos ou criados por gênios.
O aluno, acreditando e supervalorizando o poder da matemática formal perde qualquer
autoconfiança em sua intuição matemática, perdendo, dia a dia, seu "bom-senso" matemático. Além de acreditarem que a.solução de um problema encontrada matematicamente não estará,necessariamente, relacionada com a solução do mesmo problema numa situação real.
É bastante comum o aluno desistir de solucionar um problema matemático, afirmando não ter aprendido como resolver aquele tipo de questão ainda, quando ela não consegue reconhecer qual o algoritmo ou processo de solução apropriado para aquele problema. Falta aos alunos uma flexibilidade de solução e a coragem de tentar soluções alternativas, diferentes das propostas pelos professores.
O professor hoje também tem uma série de crenças sobre o ensino e a aprendizagem de
matemática que reforçam a prática educacional por ele exercida. Muitas vezes ele se sente convencidode que tópicos da matemática são ensinados por serem úteis aos alunos no futuro. Esta "motivação" é pouco convincente para os alunos, principalmente numa realidade educacional como a brasileira em que apenas uma pequena parte dos alunos ingressantes no primeiro ano escolar termina sua
escolaridade de oito anos obrigatórios.
Para o entendimento de muitos professores o aluno, aprenderá melhor quanto maior for o número de exercícios por ele resolvido. Será que de fato essa resolução de exercícios repetitivos de certos algoritmos e esquemas, de solução geram o aprendizado?
Os professores em geral mostram a matemática como um corpo de conhecimentos acabado e
polido. Ao aluno não é dado em nenhum momento a oportunidade ou gerada a necessidade de criar nada, nem mesmo uma solução mais interessante. O aluno assim, passa a acreditar que na aula de matemática o seu papel é passivo e desinteressante.
Uma das grandes preocupações dos professores é com relação à quantidade de conteúdo
trabalhado. Para esses professores o conteúdo trabalhado. É a prioridade de sua ação pedagógica, ao invés da aprendizagem dor aluno. É difícil o professor que consegue se convencer de que seu objetivo principal do processo educacional é que os alunos tenham o maior aproveitamento possível, e que esse objetivo fica longe de ser atingido quando a meta do professor passa a ser cobrir a maior quantidade possível de matéria em aula.
Em nenhum momento no processo escolar, numa aula de matemática geram-se situações em que o aluno deva ser criativo, ou onde o aluno esteja motivado a solucionar um problema pela curiosidade criada pela situação em si ou pelo próprio desafio do problema. Na matemática escolar o aluno não vivencia situações de investigação, exploração e descobrimento. O processo de pesquisa matemática é
reservado a poucos indivíduos que assumem a matemática como seu objeto de pesquisa. É esse processo de pesquisa que permite e incentiva a criatividade ao se trabalhar com situações problemas.
À proposta de trabalho a ser discutida a seguir envolve uma tentativa de se levar em conta as concepções dos alunos e professores sobre a natureza da matemática, o ato de se fazer matemática e como se aprende matemática. Essas concepções terão que ser modificadas para que se possa ter uma renovação no ensino da matemática.
Diversas são as atuais linhas de pesquisa e propostas de trabalho lidando com a pergunta: como ensinar matemática hoje? Trataremos aqui daquelas que procuram alterar a atual concepção do que vem a ser a matemática escolar e mais ainda, de como se dá a aprendizagem da matemática. Optamos pelas
propostas que colocam o aluno como o centro do processo educacional, enfatizando o aluno como um ser ativo no processo de construção de seu conhecimento. Propostas essas onde o professor passa a ter um
papel de orientador e monitor das atividades propostas aos alunos e por eles realizadas.
Estas propostas partem do princípio de que o aluno está constantemente interpretando seu mundo e suas experiências e essas interpretações ocorrem inclusive quando se trata de um fenômeno matemático.
São as interpretações dos alunos que constituem o se saber matemática "de fato". Muitas vezes o aluno demonstra, através de respostas a exercícios, que aparentemente compreendeu algum conceito matemático; porém, uma vez mudado o capítulo de estudo ou algum aspecto do exercício, o aluno nos surpreende com erros inesperados. É a partir do estudo dos erros cometidos pelos alunos que poderemos compreender as interpretações por eles desenvolvidas.
Entremos em detalhes a respeito de algumas propostas baseados nesta abordagem. A resolução de problemas como proposta metodológica, a modelagem, o uso de computadores (linguagem LOGO e outros programas), a etnomatemática, a história da matemática como motivação para o ensino de tópicos do currículo, e o uso de jogos matemáticos no ensino são alguns exemplos de propostas de trabalho visando à melhoria do ensino de matemática segundo uma perspectiva construtivista (para
maiores detalhes a respeito de teorias construtivistas aplicadas ao ensino da matemática veja Liben,1987).

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

A colocação de uma maior ênfase na resolução de problemas no currículo de matemática tem sido amplamente discutida na comunidade de Educação Matemática, internacionalmente. Atualmente, esta preocupação encontra-se expressa nas novas propostas curriculares que surgem mundialmente, inclusive no Brasil.
Nota-se que os estudos iniciais sobre resolução de problemas propunham um ensino sobre diferentes heurísticas e passos na resolução de problemas. Muitas vezes essa abordagem gerava um ensino visando o ocasional envolvimento com a resolução de problemas. Hoje a proposta está um tanto modificada e a resolução, de problemas é encarada como uma metodologia de ensino em que o professor propõe ao aluno situações problemas caracterizadas por investigação e exploração de novos conceitos.
Essa proposta, mais atual, visa a construção de conceitos matemáticos pelo aluno através de situações que estimulam a sua curiosidade matemática. Através de suas experiências com problemas de naturezas diferentes o aluno interpreta o fenômeno matemático e procura explicá-lo dentro de sua concepção da matemática envolvida. O processo de formalização á lento e surge da necessidade de uma nova forma de comunicação pelo aluno. Nesse processo o aluno envolve-se com o "fazer" matemática no sentido de criar hipóteses e conjecturas e investigá-los a partir da situação problema proposta.
Obviamente a explicação acima é resumida e tem como objetivo apenas expor como esta linha de pesquisa vem caminhando hoje. É claro que há ainda espaço para o trabalho com heurísticas e passos de resolução segundo o modelo de Pólya, porém, esses têm sido menos enfatizados na nova concepção de resolução de problemas.

MODELAGEM

A modelagem matemática tem sido utilizada como uma forma de quebrar a forte dicotomia
existente entre a matemática escolar formal e a sua utilidade na vida real. Os modelos matemáticos são formas de estudar e formalizar fenômenos do dia a dia. Através da modelagem matemática o aluno se toma mais consciente da utilidade da matemática para resolver e analisar problemas do dia-a-dia. Esse é um momento de utilização de conceitos já aprendidos. É uma fase de fundamental importância para que os conceitos trabalhados tenham um maior significado para os alunos, inclusive com o poder de torná-los mais críticos na análise e compreensão de fenômenos diários3.
ETNOMATEMÁTICA

A proposta de trabalho numa linha de etnomatemática tem como objetivo primordial valorizar a matemática dos diferentes grupos culturais. Propõe-se uma maior valorização dos conceitos matemáticos informais construídos pelos alunos através de suas experiências, fora do contexto da escola. No processo de ensino propõe-se que a matemática, informalmente construída, seja utilizada como ponto de partida para o ensino formal. Procura-se eliminar a concepção tradicional de que todo conhecimento matemático do indivíduo será adquirido na situação escolar e, mais ainda, de que o aluno chega à escola sem nenhuma pré-conceituação de idéias matemáticas. Essa proposta de trabalho requer uma preparação do professor no sentido de reconhecer e identificar as construções conceituais desenvolvidas pelos alunos.

HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

A história da matemática tem servido para alguns pesquisadores como motivação para o trabalho com o desenvolvimento de diversos conceitos matemáticos. Esta linha de trabalho parte do princípio de que o estudo da construção histórica do conhecimento matemático leva a uma maior compreensão da evolução do conceito, enfatizando as dificuldades epistemológicas inerentes ao conceito que está sendo trabalhado. Essas dificuldades históricas têm se revelado as mesmas muitas vezes apresentadas pelos alunos no pro cesso de aprendizagem.
Esse estudo está muito relacionado com o trabalho em etnomatemática, pois mais e mais são revelados estágios de desenvolvimento matemático em diferentes grupos culturais que te assemelham aos estágios de desenvolvimento histórico de diversos conceitos.

O USO DE COMPUTADORES

Diversos são os grupos estudando o uso de computadores no ensino da matemática. Enquanto há grupos desenvolvendo os chamados programas de Instrução Assistida por Computadores, em que o ensino por treino e teste é reforçado e enfatizado, há também grupos utilizando a mesma tecnologiapara desenvolver um trabalho moderno baseando-se numa linha psicológica construtivista de aprendizagem.
Em geral esses programas procuram criar ambientes de investigação e exploração matemática.
Exemplos de programas com essa abordagem são o trabalho com o LOGO e o "Geometric Supposer".
Embora de estrutura bem diferentes esses dois programas têm algo em comum. O LOGO é uma linguagem de programação em que o aluno trabalha com a construção de conceitos matemáticos através da programação de pequenos projetos (ver Papert, 1985); já o "Geometric Supposer" é um programa que cria um ambiente de investigação na geometria (ver Yerrushalrny, 1986). Através da exploração de diversos exemplos de fenômenos geométricos (difíceis de investigar sem o auxilio deste programa) o aluno levanta hipóteses e conjeturas sobre os mesmos, partindo em seguida para a demonstração dos mesmos.
Acredita-se que metodologia de trabalho desta natureza tem o poder de dar ao aluno a
autoconfiança na sua capacidade de criar e fazer matemática. Com essa abordagem a matemática deixa de ser um corpo de conhecimentos prontos e simplesmente transmitidos aos alunos e passa a ser algo em que o aluno faz parte integrante no processo de construção de seus conceitos.

JOGOS MATEMÁTICOS

Muitos grupos de trabalho e pesquisa em Educação Matemática propõem-se uso de jogos no ensino da matemática. Um grupo em particular, o Pentathlon Institute4, vê os jogos como uma forma de se abordar, de forma a resgatar o lúdico, aspectos do pensamento matemático que vêm sendo ignorados no ensino. Com uma tendência no nosso ensino à supervalorização do pensamento algorítmico tem-se deixado de lado o pensamento lógico-matemático além do pensamento espacial.
A proposta deste grupo é de desenvolver através de jogos de desenvolvimento de estratégias esses dois tipos de raciocínio na criança, além de trabalhar, também, a estimativa e o cálculo mental.
Acredita-se que no processo de desenvolvimento de estratégias de jogo o aluno envolve-se com o levantamento de hipóteses e conjeturas, aspecto fundamental no desenvolvimento do pensamento científico, inclusive matemático.
Claramente esta é mais uma abordagem metodológica baseada no processo de construção do conhecimento matemático do aluno através de suas experiências com diferentes situações problemas, colocadas aqui em forma de jogo.
Como se vê, são diversas as linhas metodológicas enfatizando a construção de conceitos matemáticos pelos alunos, onde eles se tornam ativos na sua aprendizagem. Em todos esses casos os alunos deixam de ter uma posição passiva diante da sua aprendizagem da matemática. Eles deixam de acreditar que a aprendizagem da matemática possa ocorrer como conseqüência da absorção de conceitos passados a eles por um simples processo de transmissão de informação.
O mais interessante de todas essas propostas é o fato de que elas se complementam. É difícil,num trabalho escolar, desenvolver a matemática de forma rica para todos os alunos se enfatizarmos apenas uma linha metodológica única. A melhoria do ensino de matemática envolve, assim, um processo de diversificação metodológica, porém, tendo uma coerência no que se refere a fundamentação psicológica das diversas linhas abordadas.